7の倍数とサイコロ問題の相性

7はいいよね。1〜10の中で一番好きな数字はなんですかって聞かれたら7と答えるのではないでしょうか？マジックナンバー7とも言われ世界の7不思議だとか言われますもんね。しかも素数！←ここ重要

一つ問題を出してみますので興味がある方はチャレンジしてみてください！

Q「大中小のさいころ3つを投げ、小さいころが出た目を一の位、中さいころが出た目を十の位、大さいころが出た目を百の位とする。このとき出来た3桁の整数が7の倍数になる場合の数を求めよ。」

方針

111〜666(ただし各桁の数字に7、8、9は含まない)までの数字から7の倍数をひたすら列挙すれば答えは出せる。受験本番で初見だったら数え上げがいいんじゃないでしょうか。数え上げをバカにしている人もいるかもだけど、確率や整数論を解く上でしらみ潰しの解法はよく使われるのでむしろ積極的に使えばいいと思います。小学生にも理解できるやり方ですし。

ただ、高校生になるともっとエレガントに解きたくなりますよね笑 以下考え方(解答より若干記述はあいまいになっています)

考え方

大、中、小のサイコロの出た目をそれぞれa、b、cとすると3桁の整数は100a＋10b＋c(1≦a≦6,1≦b≦6,1≦c≦6)と表せる。

7の倍数について考えたいから

100a＋10b＋c=7(14a＋b)＋2a＋3b＋cと式変形してみると、7(14a＋b)は7の倍数だから、100a＋10b＋cが7の倍数となるためには2a＋3b＋cが7の倍数になればよい。

1≦a≦6,1≦b≦6,1≦c≦6より

2＋3＋1≦2a＋3b＋c≦2×6＋3×6＋1×6

6≦2a＋3b＋c≦36となるからあとは、2a＋3b＋c＝7、14、21、28、35となるabcの組み合わせを見つければよい。これだったらあとはしらみつぶしの方法でいけそうですね。あとは気合で！bの係数が一番大きいからb＝1、2・・・と増やしながらaとcの組み合わせを見つけていくのがいいかなとは思います。

ま、これで終わりだと見出しの記事の内容を全く書いていないことになるのでここで紹介しますね。2a＋3b＋cが7の倍数になればいいんだけど、ここで条件は1≦a≦6,1≦b≦6,1≦c≦6となっているんだね。これがミソ。

実は2a＋3bが7の倍数でないのと2a＋3b＋cが7の倍数になるっていうのは1対1対応しているんだね。

どいうことか、たとえば2a＋3b＝5とすればc＝2とすれば7の倍数になるよね(cが2以外だと7の倍数にならない)。

2a＋3b＝16のときはc＝5とすれば7の倍数になるよね(cが5以外だと7の倍数にならない)。

一方、2a＋3b＝7のときは、c＝1〜6のどれをとっても2a＋3b＋cは7の倍数になれないよね。

つまり2＋3≦2a＋3b≦2×6＋3×6すなわち5≦2a＋3b≦30の範囲内で、かつ7の倍数でない個数が答えになるんだね

数えると、そのような数は22個あるので答えは22通りでした

サイコロと7の倍数は相性がいいんですよね。逆にこういう問題と絡めないと7の倍数の判定法の問題は出されないかなーと思ったり

下線の1対1対応のところが分かりづらかった人はコメント欄にその旨を書いていただけたら嬉しいです。それではドラドラ〜