ドラコーラス

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e^xの積分できますか

数学

$\displaystyle\int e^2 dx$ , $\displaystyle\int xe^x dx$ , $\displaystyle\int e^{x^2} dx$ , $\displaystyle\int xe^{x^2} dx$ , $\displaystyle\int x^2e^{x^2}dx$

この中で積分できるやつとできないやつがある。

（ここでは積分定数Cは省略する）

まず $e^x$ の積分は大丈夫ですよね。積分しても形が変わらず $e^x$ ですね。

次は部分積分をすると、次のように計算できる。

$\displaystyle\int xe^x dx=xe^x-\int 1\cdot e^x dx$

$\displaystyle=xe^x-\int e^x dx$

$\displaystyle =xe^x-e^x$

$\displaystyle =(x-1)e^x$

$exp(x^2)$ の積分は実は大学受験レベルでは計算できないんですね。受験生はもう少し学ぶのを待ってくださいね。

4つ目は、置換積分をして解くことができます。

$\displaystyle\int xe^{x^2} dx$

$\displaystyle x^2=tとおくと\displaystyle\int xe^{x^2} dx$

$\displaystyle\int xe^{x^2} dx=\int xe^t\cdot \frac{1}{2t} dt$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int e^{t} dt$

$\displaystyle=\frac{1}{2} e^{t}$

$\displaystyle=\frac{1}{2} e^{x^2}$

5つ目は

$\displaystyle\int x^2e^{x^2}dx$

$x^2=tとおくと、\frac{dt}{dx}=2x$

$\displaystyle=\int t\cdot e^t\cdot \frac{1}{2x}dt$

$\displaystyle=\int t\cdot e^t\cdot \frac{1}{2(t\sqrt t)}dt$

としてもうまくいかない。ここで、部分積分をしてみると

$\displaystyle\int x^2e^{x^2}dx$

$\displaystyle=\int x\cdot xe^{x^2}dx$

$\displaystyle=x\cdot \frac{1}{2}e^{x^2}-\int 1\cdot \frac{1}{2}e^{x^2}dx$

$\displaystyle=\frac{1}{2}xe^{x^2}-\frac{1}{2}\int e^{x^2}dx$

となり、 $\int e^{x^2}dx$ が計算できないのでこの積分も計算できないですね。

ということで、積分できるものについてはしっかりできるようにして、計算できないものは、出題されないか、または近似計算を心がけていただければと思います。

それではドラドラ〜